Question

18．設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（Ⅰ）若a=1，求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）記g（x）=x²-2x-3，若存在x₁，x₁∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時，去絕對值得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2x+1}&{x≥1}\\{{x}^{2}+2x-1}&{x＜1}\end{array}\right.$，該函數(shù)為分段函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)增區(qū)間的求法，求出每段上函數(shù)f（x）的增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由題意便知x²+2x+3=（a-x）|x-a|①在[0，4]上有解，從而函數(shù)x²+2x+3和函數(shù)（a-x）|x-a|的圖象在[0，4]上有解，從而可由方程①得到x²+2x+3=x²-2ax+a²，該方程能夠解出為x=$\frac{{a}^{2}}{2a+2}$，該解必須在[0，4]上，而且可以說明a≥0，從而解$\left\{\begin{array}{l}{0≤\frac{{a}^{2}}{2a+2}≤4}\\{a≥0}\end{array}\right.$即得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=2x²+（x-1）|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-2x+1}&{x≥1}\\{{x}^{2}+2x-1}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∴①x≥1時，f（x）為二次函數(shù)，對稱軸為$x=\frac{1}{3}$；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
②x＜1時，f（x）為二次函數(shù)，對稱軸為x=-1；
∴f（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-∞，-1]，[1，+∞）；
（Ⅱ）根據(jù)題意，方程2x²+（x-a）|x-a|=x²-2x-3，即x²+2x+3=（a-x）|x-a|（1）在[0，4]上有解；
即函數(shù)x²+2x+3的圖象和函數(shù)（a-x）|x-a|圖象在[0，4]上有交點；
可以看出函數(shù)x²+2x+3在[0，4]上的圖象在x軸的上方；而x＞a時，函數(shù)（a-x）|x-a|的圖象在x軸下方，x≤a時，函數(shù)（x-a）|x-a|的圖象在x軸上方；
∴只有x≤a時，函數(shù)y=x²+2x+3和函數(shù)y=（a-x）|x-a|在[0，4]上有交點；
∴方程（1）變成x²+2x+3=x²-2ax+a²；
解得$x=\frac{{a}^{2}}{2+2a}$；
∴$0≤\frac{{a}^{2}}{2+2a}≤4$；
解得$4-2\sqrt{6}≤a≤4+2\sqrt{6}$；
x=a是函數(shù)x²-2ax+a²的對稱軸，∴a≥0；
∴a的取值范圍為$[0，4+2\sqrt{6}]$．

點評 考查含絕對值函數(shù)的處理方法：去絕對值號，二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，以及方程的解和對應(yīng)曲線交點的關(guān)系，解分式不等式，并要熟悉二次函數(shù)的圖象．