Question

10．已知a≥1，f（x）=-sinxcosx+a（sinx+cosx）-1．
（1）求當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，π]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得f（x）=g（t）=-$\frac{1}{2}$•（t-1）²，由此求得函數(shù)f（x）的值域．
（2）令u=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），則$u∈[-1，\sqrt{2}]$，問題等價(jià)于h（u）=-$\frac{1}{2}$•（μ-a）²+$\frac{{a}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$ 在$[-1，1）∩\{\sqrt{2}\}$內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在$[1，\sqrt{2}）$無零點(diǎn)．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-sinxcosx+sinx+cosx-1，令t=sinx+cosx，
則$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，$sinxcosx=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，$g（t）=-\frac{{{t^2}-1}}{2}+t-1=-\frac{1}{2}{（t-1）^2}$，
當(dāng)t=1時(shí)，g（t）_max=0，當(dāng)$t=-\sqrt{2}$時(shí)，$g{（t）_{min}}=-\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
所以f（x）的值域?yàn)?[-\frac{3}{2}-\sqrt{2}，0]$．
（2）f（x）=-sinxcosx+a（sinx+cosx）-1，
令u=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），則當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，$u∈[-1，\sqrt{2}]$，
$sinxcosx=\frac{{{u^2}-1}}{2}$，$h（u）=-\frac{{{u^2}-1}}{2}+au-1=-\frac{1}{2}{（u-a）^2}+\frac{1}{2}{a^2}+\frac{1}{2}$，
f（x）在[0，π]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于h（u）在$[-1，1）∩\{\sqrt{2}\}$內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在$[1，\sqrt{2}）$無零點(diǎn)．
因?yàn)閍≥1，∴h（u）在[-1，1）內(nèi)為增函數(shù)，
①若h（u）在[-1，1）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，$[1，\sqrt{2}）$無零點(diǎn)，
故只需$\left\{\begin{array}{l}h（1）＞0\\ h（-1）≤0\\ h（\sqrt{2}）＞0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a-1＞0\\-a-1≤0\\ \sqrt{2}a-\frac{3}{2}＞0\end{array}\right.$得$a＞\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
②若$\sqrt{2}$為h（μ）的零點(diǎn)，則h（μ）在$[1，\sqrt{2}）$內(nèi)無零點(diǎn)，
則$\sqrt{2}a-\frac{3}{2}=0$，得$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，經(jīng)檢驗(yàn)，$a=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$不符合題意．
綜上，$a＞\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的值域，函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．