Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}$x²（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a=0，求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求證：$\frac{1}{ln{x}_{1}}$+$\frac{1}{ln{x}_{2}}$＞2ae．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，切線斜率k=f′（1），利用切線的定義，即可求出切線方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（3）函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，即導(dǎo)函數(shù)g′（x）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x₁、x₂，對(duì)a進(jìn)行分類討論，令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，構(gòu)造函數(shù)φ（t），利用函數(shù)φ（t）的單調(diào)性證明不等式．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=xlnx-x²，f′（x）=lnx+1-2x，
∴f（1）=-1，f′（1）=-1，
曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=-x；
（2）a=0時(shí)，f（x）=xlnx，（x＞0），
f′（x）=1+lnx，
當(dāng)t＞$\frac{1}{e}$時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）在[t，t+2]增，最小值為tlnt；
當(dāng)0＜t≤$\frac{1}{e}$時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在[t，$\frac{1}{e}$]減，[$\frac{1}{e}$，t+2]增，最小值為-$\frac{1}{e}$．
證明：（3）g′（x）=f（x）′-1=lnx-ax，函數(shù)g（x）=f（x）-x有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁、x₂，
即g′（x）=lnx-ax=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）單調(diào)遞增，g′（x）=0不可能有兩個(gè)不同的實(shí)根；
當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)h（x）=lnx-ax，h′（x）=$\frac{1-ax}{x}$，
若0＜x＜$\frac{1}{a}$時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
若x＞$\frac{1}{a}$時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
∴h（$\frac{1}{a}$）=-lna-1＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{e}$．
不妨設(shè)x₂＞x₁＞0，
∵g′（x₁）=g′（x₂）=0，
∴l(xiāng)nx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），
先證 $\frac{1}{l{nx}_{1}}$+$\frac{1}{l{nx}_{2}}$＞2，即證 $\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$，
即證ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{{{{x}_{2}}^{2}-x}_{1}}^{2}}{{{2x}_{1}x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即證lnt＜$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）
設(shè)φ（t）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），則φ′（t）=$\frac{2t{-t}^{2}-1}{{2t}^{2}}$=$\frac{{-（t-1）}^{2}}{{2t}^{2}}$＜0
函數(shù)φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴φ（t）＜φ（1）=0，
∴$\frac{1}{l{nx}_{1}}$+$\frac{1}{l{nx}_{2}}$＞2，
又∵ae＜1，
∴$\frac{1}{l{nx}_{1}}$+$\frac{1}{l{nx}_{2}}$＞2ae．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線，運(yùn)用分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想證明不等式．是一道導(dǎo)數(shù)綜合題，難題較大．