Question

9．在長方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos²α+cos²β=1類比到空間，在長方體中，一條對(duì)角線與從其一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面所成的角分別為α，β，γ，則有cos²α+cos²β+cos²γ=2．

Answer 1

分析 由類比規(guī)則，點(diǎn)類比線，線類比面，可得出在長方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線AC₁與相鄰三個(gè)面所成的角為α，β，γ，則cos²α+cos²β+cos²γ=2，解直角三角形證明其為真命題即可．

解答 解：我們將平面中的兩維性質(zhì)，類比推斷到空間中的三維性質(zhì)．
由在長方形中，設(shè)一條對(duì)角線與其一頂點(diǎn)出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos²α+cos²β=1，
我們根據(jù)長方體性質(zhì)可以類比推斷出空間性質(zhì)，
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，如圖
對(duì)角線AC₁與過A點(diǎn)的三個(gè)面ABCD，AA₁B₁B、AA₁D₁D所成的角分別為α，β，γ，
∴cosα=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$，cosβ=$\frac{A{B}_{1}}{A{C}_{1}}$，cosγ=$\frac{A{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，
令同一頂點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)棱的長分別為a，b，c，則有cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{{a}^{2}+^{2}+{a}^{2}+{c}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}$=2
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，線面角的定義，綜合性強(qiáng)是一個(gè)常考的題型．