Question

17．給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1；
②若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ+$\frac{π}{4}}$）為偶函數(shù)，則φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z；
③x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{5π}{4}}$）的一條對(duì)稱軸方程；
④若α，β是第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；
⑤過點(diǎn)P（-1，6）且與圓（x+3）²+（y-2）²=4相切的直線方程是3x-4y-27=0；
⑥過原點(diǎn)O作圓x²+y²-8x=0的弦OA，則弦OA的中點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-4x=0，
其中正確的命題是②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)函數(shù)的有界性進(jìn)行判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，
③根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行判斷，
④根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行判斷
⑤根據(jù)直線斜率不垂直時(shí)也滿足條件進(jìn)行排除，
⑥根據(jù)軌跡方程進(jìn)行判斷．

解答 解：①sinα•cosα=$\frac{1}{2}$sin2α∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，則存在實(shí)數(shù)α，使sinα•cosα=1錯(cuò)誤；故①錯(cuò)誤，
②若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ+$\frac{π}{4}}$）為偶函數(shù)，則-φ+$\frac{π}{4}}$=$\frac{π}{2}$+kπ，則φ=-$\frac{π}{4}$-kπ，k∈Z，正確，故②正確，
③當(dāng)x=$\frac{π}{8}$時(shí)，函數(shù)y=sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{5π}{4}}$）=sin$\frac{3π}{2}$=-1為最小值，則x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程；故③正確，
④若α=390°，β=30°，滿足α，β是第一象限角，且α＞β，則sinα=sinβ；故④錯(cuò)誤，
⑤圓（x+3）²+（y-2）²=4的圓心坐標(biāo)為C（-3，2），半徑r=2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為x=-1，圓心C到直線x=-1的距離d=|-3-（-1）|=2=r，
即x=-1也和圓相切，故⑤錯(cuò)誤；
⑥解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），那么A點(diǎn)坐標(biāo)是（2x，2y），
A點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓x²+y²-8x=0的方程，
所以（2x）²+（2y）²-16x=0
所以M點(diǎn)軌跡方程為x²+y²-4x=0，（在圓x²+y²-8x=0內(nèi)的部分），故過原點(diǎn)O作圓x²+y²-8x=0的弦OA，則弦OA的中點(diǎn)N的軌跡方程為x²+y²-4x=0錯(cuò)誤，故⑥錯(cuò)誤，
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，直線和圓的位置關(guān)系以及軌跡問題，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．