Question

18．已知a、b、c為正數(shù)，求證：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$．

Answer 1

分析 由條件運用均值不等式，可得a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2c，b+$\frac{{a}^{2}}$≥2a，c+$\frac{^{2}}{c}$≥2b，相加，再證a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$，由不等式的傳遞性，即可得證．

解答 證明：a、b、c為正數(shù)，可得
a+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{{c}^{2}}{a}}$=2c，
b+$\frac{{a}^{2}}$≥2$\sqrt{b•\frac{{a}^{2}}}$=2a，
c+$\frac{^{2}}{c}$≥2$\sqrt{c•\frac{^{2}}{c}}$=2b，
相加可得$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥a+b+c，
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，b+c≥2$\sqrt{bc}$，c+a≥2$\sqrt{ca}$，
相加可得a+b+c≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$．
由不等式的傳遞性，可得
$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{c}$+$\frac{{c}^{2}}{a}$≥$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$
（當且僅當a=b=c取得等號）．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用變形和基本不等式，以及不等式的性質(zhì)：可加性和傳遞性，考查推理能力，屬于中檔題．