Question

16．若$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，則a的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 運用參數(shù)分離可得a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，即可得到a的最小值．

解答 解：$\sqrt{x}+\sqrt{y}≤a\sqrt{x+y}$（x＞0，y＞0）恒成立，即為
a≥$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$恒成立，
由不等式（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，當且僅當a=b取得等號．
則$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤$\sqrt{2（x+y）}$，
即有$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}$≤$\frac{\sqrt{2（x+y）}}{\sqrt{x+y}}$=$\sqrt{2}$，當且僅當x=y取得最大值．
則有a≥$\sqrt{2}$，即a的最小值為$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意轉化為函數(shù)最值的求法，注意運用重要不等式，考查化簡運算能力，屬于中檔題．