Question

2．經(jīng)過函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$圖象上一點(diǎn)M引切線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB的面積為S，則S=（　�。�

• A． 8
• B． 4
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．

解答 解：設(shè)M（x₀，y₀）為曲線y=-$\frac{2}{x}$上任一點(diǎn)，則y₀=-$\frac{2}{{x}_{0}}$．
∵y=-$\frac{2}{x}$，∴y′=$\frac{2}{{x}^{2}}$，設(shè)過曲線y=-$\frac{2}{x}$上一點(diǎn)M的切線l的斜率為k，
則k=$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切線l的方程為：y+$\frac{2}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{4}{{x}_{0}}$，即B（0，-$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|-$\frac{4}{{x}_{0}}$|=4．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線y=-$\frac{2}{x}$上一點(diǎn)M的切線l的斜率，考查直線的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．