Question

10．設(shè)S_n={1，2，…，n}，若X是S_n的子集，把X中的所有數(shù)的和稱為X的“容量”（規(guī)定φ的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S_n的奇（偶）子集．
（1）求證：S_n的奇子集與偶子集個數(shù)相等；
（2）求證：當(dāng)n≥3時，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）求n≥3時S_n的所有奇子集的容量和．

Answer 1

分析 （1）證明S_n的奇子集與偶子集一一對應(yīng)，即可得出結(jié)論；
（2）證明每個數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個數(shù)是一樣的，每個元素都是在奇子集與偶子集中占的個數(shù)一樣，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）由于每個元素在奇子集中都出現(xiàn)有2^n-1次，故可得奇子集的容量和．

解答 （1）證明：對于S_n的奇子集A，1∈A，取B=A/{1}，1∉A，取B=A∪{1}，則B為S_n的偶子集；S_n的偶子集B，1∈B，取A=B/{1}，1∉B，取A=B∪{1}，則A為S_n的奇子集，所以S_n的奇子集與偶子集一一對應(yīng)，故個數(shù)相等；
（2）證明：對于i∈S_n，含i的S_n的子集有2^i-1個，其中一半是奇子集，一半是偶子集，從而每個數(shù)i，在奇子集的和與偶子集的和中，i所占的個數(shù)是一樣的．
而對于元素1，只要把S_n的所有子集按是否還有3配對（即在上證明中把1換成3來證明），于是也可知1的奇子集與偶子集中占的個數(shù)一樣，于是可知每個元素都是在奇子集與偶子集中占的個數(shù)一樣，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；
（3）解：由于每個元素在奇子集中都出現(xiàn)有2^n-1次，故奇子集的容量和=（1+2+…+n）×2^n-1=n（n+1）×2^n-1．

點評 本題考查元素與集合的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．