Question

16．已知y=f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數(shù)，它在[0，3]上是一次函數(shù)，在[3，6]上是二次函數(shù)，當x∈[3，6]時，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2，則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得（5，3）是[3，6]這段二次函數(shù)圖象的頂點，則設其解析式為f（x）=a（x-5）²+3，代入數(shù)據(jù)可得a=-1，即f（x）=-（x-5）²+3，進而由特殊值可得f（x）在[0，3]x的一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質，分析可得f（x）的解析式．

解答 解：∵f（x）在[3，6]上是x的二次函數(shù)，且當3≤x≤6時，f（x）≤f（5）=3；
∴（5，3）是此二次函數(shù)圖象的頂點，設這個二次函數(shù)為f（x）=a（x-5）²+3．
∵f（6）=2；
∴a=-1．
∴f（x）=-（x-5）²+3（x∈[3，6]），
∴f（3）=-1．
又函數(shù)f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0．
∵f（x）在[0，3]上是x的一次函數(shù)，且f（0）=0，f（3）=-1；
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x．
又∵函數(shù)f（x）是定義在[-6，6]上的奇函數(shù)，
∴x∈[-3，0]時，f（x）=-f（-x）=-$\frac{1}{3}$x；
x∈[-6，-3]時，f（x）=-f（-x）=-[-（-x-5）²+3}=（x+5）²-3．
綜上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-（x-5）^{2}+3，3≤x≤6}\\{-\frac{1}{3}x，-3＜x＜3}\\{（x+5）^{2}-3，-6≤x≤-3}\end{array}\right.$．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的運用以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，涉及分段函數(shù)時，注意分段函數(shù)，分段分析，分段討論的思想．