Question

8．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5}}$=1的左焦點F在x軸上，直線x=m與橢圓交于點A，B，若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 先畫出圖象，結合圖象以及橢圓的定義，求出△FAB的周長的表達式，進而求出何時周長最大，即可求出橢圓的離心率．

解答 解：設橢圓的右焦點E．如圖：
由橢圓的定義得，
△FAB的周長為AB+AF+BF
=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴△FAB的周長為AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周長的最大值是4a=12⇒a=3；
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{2}{3}$．
故答案：$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)：離心率的求法．在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．