8.橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{5}}$=1的左焦點F在x軸上,直線x=m與橢圓交于點A,B,若△FAB的周長的最大值是12,則該橢圓的離心率是$\frac{2}{3}$.

分析 先畫出圖象,結(jié)合圖象以及橢圓的定義,求出△FAB的周長的表達式,進而求出何時周長最大,即可求出橢圓的離心率.

解答 解:設(shè)橢圓的右焦點E.如圖:
由橢圓的定義得,
△FAB的周長為AB+AF+BF
=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;
∵AE+BE≥AB;
∴AB-AE-BE≤0,當AB過點E時取等號;
∴△FAB的周長為AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a;
∴△FAB的周長的最大值是4a=12⇒a=3;
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{2}{3}$.
故答案:$\frac{2}{3}$.

點評 本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì):離心率的求法.在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關(guān)系的問題中,圓錐曲線的定義往往是解題的突破口.

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