Question

已知中心在原點，焦點在x軸上，離心率為

3

2

的橢圓過點（

2

，

2

2

）．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)不過原點O的直線l，與該橢圓交于P，Q兩點，直線OP，PQ，OQ的斜率依次為k₁、k、k₂，滿足k₁、k、k₂依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．
（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．

解答： 解：（1）由題意設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

c a = 3 2 2 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得：a²=4，b²=1．
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）由題意設(shè)PQ所在直線方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
則△=64k²b²-16（1+4k²b²）（b²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

．
故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²，
即

-8k2m2

x1x2

+m²=0，又m≠0，
∴k²=

1

4

，即k=±

1

2

．
由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得
0＜m²＜2且m²≠1．
設(shè)d為點O到直線l的距離，
則S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|x₁-x₂||m|=

m2(2-m2)

．
∴S_△OPQ的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，訓練了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，著重考查了設(shè)而不求的解題思想方法，是壓軸題．