Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直線l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1．
（I）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求橢圓C與直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知P是l上一動(dòng)點(diǎn)，射線OP交橢圓C于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|²．當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q在直角坐標(biāo)系下的軌跡方程．

Answer 1

分析 （I）將x=ρcosθ，y=ρsinθ分別代入橢圓方程和直線方程，化簡整理即可得到極坐標(biāo)方程；
（II）設(shè)Q（ρ，θ），由|OQ|•|OP|=|OR|²結(jié)合（Ⅰ）即可得到所求直角坐標(biāo)方程．

解答 解：（I）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{24}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，直線l：$\frac{x}{12}$+$\frac{y}{8}$=1，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ分別代入上式，化簡可得，
C：${ρ^2}=\frac{48}{{2{{cos}^2}θ+3{{sin}^2}θ}}$，l：$ρ=\frac{24}{2cosθ+3sinθ}$；
（II）設(shè)Q（ρ，θ），
由|OQ|•|OP|=|OR|²
結(jié)合（Ⅰ）可得，ρ•$\frac{24}{2cosθ+3sinθ}$=$\frac{48}{2co{s}^{2}θ+3si{n}^{2}θ}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得
2x²+3y²-4x-6y=0．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．