Question

16．設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，2）在橢圓E上，且c=$\sqrt{3}$，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）已知橢圓E的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，若過點(diǎn)F₁（-c，0）的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且|AF₁|=3|F₁B|．證明：AB⊥AF₂．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因?yàn)镕₁$（-\sqrt{3}，0）$，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，且點(diǎn)$P（\sqrt{3}，2）$在橢圓E上，列式求得橢圓方程．
（Ⅱ）在△AF₁F₂中和在△ABF₂中，分別利用余弦定理求得，再根據(jù)條件列出等式求解．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)镕₁$（-\sqrt{3}，0）$，${F_2}（\sqrt{3}，0）$，且點(diǎn)$P（\sqrt{3}，2）$在橢圓E上，
所以$2a=\sqrt{{{（\sqrt{3}+\sqrt{3}）}^2}+{{（2-0）}^2}}+\sqrt{{{（\sqrt{3}-\sqrt{3}）}^2}+{{（2-0）}^2}}=6，a=3$．
因此b²=a²-c²=9-3=6．故橢圓E的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)?\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$a=\sqrt{2}c$．設(shè)|F₁B|=t（t＞0），則|AF₁|=3t，|AB|=4t．
在△AF₁F₂中，$cosA=\frac{{{{（3t）}^2}+{{（2a-3t）}^2}-{{（2c）}^2}}}{2×3t×（2a-3t）}=\frac{{9{t^2}+{{（2a-3t）}^2}-2{a^2}}}{2×3t×（2a-3t）}$，
在△ABF₂中，$cosA=\frac{{{{（4t）}^2}+{{（2a-3t）}^2}-{{（2a-t）}^2}}}{2×4t×（2a-3t）}=\frac{{16{t^2}+{{（2a-3t）}^2}-{{（2a-t）}^2}}}{2×4t×（2a-3t）}$…（10分）
所以$\frac{{9{t^2}+{{（2a-3t）}^2}-2{a^2}}}{2×3t×（2a-3t）}$=$\frac{{16{t^2}+{{（2a-3t）}^2}-{{（2a-t）}^2}}}{2×4t×（2a-3t）}$，整理得，3at=a²，a=3t．
于是|AF₂|=3t=|AF₁|，|BF₂|=5t，|AB|=4t，∠A=90°，故AB⊥AF₂．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查求橢圓方程的方法和利用余弦定理解決綜合問題得能力，屬于中檔題，再高考中時常涉及．