Question

已知拋物線E：y²=4x，定點D（m，0）（m＞0），過點D作直線交拋物線E于A，B兩點，
（1）若m=1，求證；以AB為直徑的圓與直線l：x=-1相切；
（2）是否存在垂直于x軸的直線l′被以AD為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l′的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線的焦點和準線方程，設(shè)出設(shè)過點D（1，0）的直線AB的方程為x=1或y=k（x-1），分別討論k不存在，求出A，B，得到圓心和半徑，即可判斷；再討論k存在的情況，代入拋物線方程，運用韋達定理和弦長公式求出圓心和半徑，即可得證；
（2）假設(shè)存在滿足條件的直線，根據(jù)垂徑定理得性質(zhì)可知，要使截得的弦長為定值，則只要圓心到直線的距離為定值即可．

解答： （1）證明：拋物線y²=4x的準線方程為x=-1，焦點為（1，0），
設(shè)過點D（1，0）的直線AB的方程為x=1或y=k（x-1），
若AB：x=1，則A（1，2），B（1，-2），|AB|=4，
AB中點為（1，0），到直線x=-1的距離為2，
則以AB為直徑的圓與直線l：x=-1相切；
若AB：y=k（x-1），代入拋物線方程，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2+

4

k2

，則AB的中點的橫坐標為1+

2

k2

，
則中點到準線的距離d為2+

2

k2

，
由拋物線的定義，可得|AB|=x₁+1+x₂+1=4+

4

k2

，
則有d=

1

2

|AB|，
故以AB為直徑的圓與直線l：x=-1相切；
（2）解：假設(shè)存在垂直x軸的直線x=n，弦長為d，
則AD的中點的橫坐標為

x1+m

2

，
即AD的中點到直線l'的距離為|

x1+m

2

-n|，
則d=2

( 1 2 |AD|)2-( x1+m 2 -n)2

，
則有

1

4

d²=

1

4

（x₁-m）²+

1

4

y₁²-

1

4

（x₁+m）²-n²+（x₁+m）n
=

1

4

×（-4mx₁）+x₁-n²+（x₁+m）n=（n-m+1）x₁+mn-n²，
則有當m=1時不存在，
當m＞0且m≠1時，存在直線x=m-1．

點評：本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和圓的位置關(guān)系及相切的條件，以及弦長公式的運用，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理求解，屬于中檔題．