Question

16．函數(shù)y=3sinx-4cosx，x∈[0，π]的值域為[-4，5]．

Answer 1

分析 易得y=3sinx-4cosx=5sin（x+φ），其中tanφ=-$\frac{4}{3}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，由反三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的知識可得值域．

解答 解：由題意可得y=3sinx-4cosx
=5（$\frac{3}{5}$sinx-$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+φ），
其中tanφ=-$\frac{4}{3}$，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∵-$\sqrt{3}$＜tanφ=-$\frac{4}{3}$＜-1，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ＜-$\frac{π}{4}$，又∵0≤x≤π，
∴-$\frac{π}{3}$＜x+φ＜$\frac{3π}{4}$，
∴當(dāng)x+φ=x-arctan$\frac{4}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)取最大值5，
又函數(shù)在（0，$\frac{π}{2}$-arctan$\frac{4}{3}$）上單調(diào)遞增，在（arctan$\frac{4}{3}$，π）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)取最小值-4，
故函數(shù)的值域為[-4，5]
故答案為：[-4，5]

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及輔助角公式和導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系，屬中檔題．