Question

1．已知x∈[0，1]，則f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$的值域是[-1，0]．

Answer 1

分析 化簡得出y=$\frac{2-t-2（t-2）^{2}}{t}$=7-2t-$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，構(gòu)造g（t）=2t+$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，利用單調(diào)性不等式求解即可．

解答 解：∵x∈[0，1]，f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$，
∴設(shè)t=x+2，t∈[2，3]，x=2-t，
y=$\frac{2-t-2（t-2）^{2}}{t}$=7-2t-$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，
∴g（t）=2t+$\frac{6}{t}$，t∈[2，3]，
根據(jù)對鉤函數(shù)的單調(diào)性得出g（t）在t∈[2，3]單調(diào)遞增，
∴g（2）≤g（t）≤g（3），
7≤g（t）≤8，
即可得出7-8≤y≤7-7，
f（x）=$\frac{x-2{x}^{2}}{x+2}$的值域是[-1，0]
故答案為：[-1，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的換元法轉(zhuǎn)化求解值域問題，關(guān)鍵是理解對鉤函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的分析變換的能力．