Question

已知集合A={x|x=a₀+a₁×3+a₂×3²+a₃×3³}，其中a_i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a₃≠0，則A中所有元素之和等于（　�。�

• A、3 240
• B、3 120
• C、2 997
• D、2 889

Answer 1

考點：計數(shù)原理的應用,數(shù)列的求和

專題：綜合題,排列組合

分析：由題意可知a₀，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₃有2種取法，利用數(shù)列求和即可求得A中所有元素之和．

解答： 解：由題意可知，a₀，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₃有2種取法（可取1，2），由分步計數(shù)原理可得共有3×3×3×2種方法，
∴當a₀取0，1，2時，a₁，a₂各有3種取法，a₃有2種取法，共有3×3×2=18種方法，即集合A中含有a₀項的所有數(shù)的和為（0+1+2）×18；
同理可得集合A中含有a₁項的所有數(shù)的和為（3×0+3×1+3×2）×18；
集合A中含有a₂項的所有數(shù)的和為（3²×0+3²×1+3²×2）×18；
集合A中含有a₃項的所有數(shù)的和為（3³×1+3³×2）×27；
由分類計數(shù)原理得集合A中所有元素之和：
S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（3²×0+3²×1+3²×2）×18+（3³×1+3³×2）×27
=18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．
故選D．

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的應用，考查分類討論與轉化思想的綜合應用，屬于難題．