Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=2^|x+a|-|x-b|，
（1）當(dāng)a=1，b=-1時，求使f（x）≥2$\sqrt{2}$的x取值范圍；
（2）若f（x）≥$\frac{1}{32}$恒成立，求a-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接運(yùn)用“零點(diǎn)分段法”解函數(shù)絕對值不等式；
（2）運(yùn)用絕對值三角不等式得，|x+a|-|x+b|≤|x+a-x-b|=|a-b|，再直接求出a-b的取值范圍．

解答 解：（1）由于y=2^x是增函數(shù)，
不等式：f（x）≥2$\sqrt{2}$等價于：|x+1|-|x-1|≥$\frac{3}{2}$，
①當(dāng)x≥1時，|x+1|-|x-1|=2，不等式恒成立；
②當(dāng)-1＜x＜1時，|x+1|-|x-1|=2x，不等式化為，2x≥$\frac{3}{2}$，即$\frac{3}{4}$≤x＜1；
?③當(dāng)x≤-1時，|x+1|-|x-1|=-2，無解；
綜上以上討論得，x取值范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）f（x）≥$\frac{1}{32}$?|x+a|-|x+b|≥-5，
由絕對值三角不等式得，
|x+a|-|x+b|≤|x+a-x-b|=|a-b|，
所以，-|a-b|≤|x+a|-|x+b|≤|a-b|，
要使原不等式恒成立只需：-|a-b|≥-5，
可得a-b的取值范圍是：[-5，5]．

點(diǎn)評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，運(yùn)用了零點(diǎn)分段法和絕對值三角不等式，體現(xiàn)了分類討論的解題思想，屬于中檔題．