Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求證：a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

=（a₁+a_n+1）•2^n-1．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題,二項(xiàng)式定理

分析：利用等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴a₁+a_n+1=a₂+a_n=…，
令S=a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

，則S=a_n+1

C

n n

+…+a₂

C

1 n

+a₁

C

0 n

．
兩式相加可得2S=（a₁+a_n+1）•（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）=（a₁+a_n+1）•2ⁿ．
∴S=（a₁+a_n+1）•2^n-1．
∴a₁

C

0 n

+a₂

C

1 n

+…+a_n+1

C

n n

=（a₁+a_n+1）•2^n-1．

點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列的性質(zhì)：a₁+a_n+1=a₂+a_n=…；二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

=2ⁿ．