Question

19．在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）中，若過雙曲線左頂點A斜率為1的直線交右支于點B，點B在x軸上的射影恰好為雙曲線的右焦點F，則該雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），令x=c，代入雙曲線的方程，可得B的坐標(biāo)，由兩點的斜率公式，化簡整理，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），F(xiàn)（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有B（c，$\frac{^{2}}{a}$），
由直線AB的斜率為1，可得：
$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c+a}$=1，
即有b²=a（c+a），
又b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
即有c-a=a，即c=2a，
e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用兩點的直線的斜率公式和基本量的關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．