Question

如圖，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，側(cè)棱CC₁⊥底面ABC，且側(cè)棱和底面邊長均為2，D是BC的中點
（1）求證：平面AB₁D⊥平面BB₁C₁C；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求直線C₁A與平面AB₁D所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證AD⊥平面BB₁CC₁，由面面垂直的判定定理即可得證；
（2）連接A₁C交AC₁于點O，連接OD，易得A₁B∥OD，由線面平行的判定定理即可得證；
（3）由（1）得平面AB₁D⊥平面B₁C₁D，在平面B₁C₁D內(nèi)過C₁作C₁E⊥B₁D于E，連接AE，則∠C₁AE為直線C₁A與平面AB₁D所成角，解得即可．

解答： （1）證明：因為CC₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以CC₁⊥AD
因為△ABC是正三角形，D是BC的中點，
所以BC⊥AD，又BC∩CC₁=C，
所以AD⊥平面BB₁CC₁，
因為AD?平面AB₁D，
所以平面AB₁D⊥平面BB₁C₁C．

（2）證明：如圖，連接A₁C交AC₁于點O，連接OD
由題得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點，又D為BC的中點，
所以A₁B∥OD
因為OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁
所以A₁B∥平面ADC₁；
（3）由（1）得平面AB₁D⊥平面B₁C₁D，
在平面B₁C₁D內(nèi)過C₁作C₁E⊥B₁D于E，
連接AE，則∠C₁AE為直線C₁A與平面AB₁D所成角，
在△C₁B₁D中，

1

2

B1D×C1E=

1

2

B1C1×CC1，
所以C₁E=

B1C1×CC1

B1D

=

2×2

5

=

4

5

，
在Rt△C₁CA中，CC₁=CA=2，得C₁A=2

2

，
所以sin∠C₁AE=

C1E

C1A

=

4

5

×

1

2 2

=

10

5

．

點評：本題主要考查線面平行，面面垂直的判定及線面角的求法等知識，屬于中檔題．