Question

10．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）的周期為4，且x∈（0，2）時(shí)f（x）=ln（x²-x+b），若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b應(yīng)滿足的條件是（　�。�

• A． -1＜b≤1
• B． -1＜b＜1或b=$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$＜b$≤\frac{5}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由題意知f（0）=f（-2）=f（2）=0，從而化為f（x）=ln（x²-x+b）在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而可得b=$\frac{5}{4}$或-1＜b≤1，再結(jié)合x∈（0，2）時(shí)f（x）=ln（x²-x+b）解得．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-2）=-f（2），
又∵f（x）的周期為4，
∴f（-2）=f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，
∴f（x）=ln（x²-x+b）在（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴方程x²-x+b=1在（0，2）上有且只有一個(gè)解，
∴b=-x²+x+1=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
∴b=$\frac{5}{4}$或-1＜b≤1時(shí)，有且只有一個(gè)解，
1＜b＜$\frac{5}{4}$時(shí)，有兩個(gè)解；
又∵x∈（0，2）時(shí)f（x）=ln（x²-x+b），
∴x∈（0，2）時(shí)，x²-x+b＞0恒成立，
∴b＞$\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{4}$＜b≤1或b=$\frac{5}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及周期性的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想應(yīng)用．