Question

20．自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為了持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響．用x_n表示某魚群在第n年年初的總量且x₁＞0．不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與$x_n^2$成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c
（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式
（2）若每年年初魚群的總量保持不變，求x₁，a，b，c所應(yīng)滿足的條件
（3）設(shè)a=2，c=1，為保證對(duì)任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用題中的關(guān)系求出魚群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）每年年初魚群的總量保持不變就是x_n恒等于x₁，轉(zhuǎn)化為x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（1）的結(jié)論，就可找到x₁，a，b，c所滿足的條件；
（3）先利用（1）的結(jié)論找到關(guān)于x_n和b的不等式，再利用x₁∈（0，2），求出b的取值范圍以及b的最大允許值，最后在用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可

解答 解：（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N^*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N^*．（**）
（2）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N^*，
從而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N^*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=$\frac{a-b}{c}$．
因?yàn)閤₁＞0，所以a＞b．
猜測：當(dāng)且僅當(dāng)a＞b，且x₁=$\frac{a-b}{c}$．每年年初魚群的總量保持不變．
（3）若b的值使得x_n＞0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，知
0＜x_n＜3-b，n∈N*，特別地，有0＜x₁＜3-b．即0＜b＜3-x₁．
而x₁∈（0，2），所以b∈（0，1]．
由此猜測b的最大允許值是1．
下證當(dāng)x₁∈（0，2），b=1時(shí)，都有x_n∈（0，2），n∈N^*，
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即x_k∈（0，2），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k（2-x_k）＞0．
又因?yàn)閤_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）．
綜上所述，為保證對(duì)任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N^*，
則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．

點(diǎn)評(píng) 本題是對(duì)數(shù)列、函數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)的綜合考查，在作數(shù)列方面的應(yīng)用題時(shí)，一定要認(rèn)真真審題，仔細(xì)解答，避免錯(cuò)誤．