Question

20．在四棱錐P-ABCD，四條側(cè)棱長均為2，底面ABCD為正方形，E為PC的中點，且∠BED=90°，若該四棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是$\frac{16}{3}π$．

Answer 1

分析 設(shè)四棱錐P-ABCD底面棱長為x，則BE=DE=x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出x值，進而求出棱錐的底面的外接圓半徑和高，進而求出棱錐的外接球半徑，可得答案．

解答 解：設(shè)四棱錐P-ABCD底面棱長為x，
∵E為PC的中點，且∠BED=90°，
∴BE=DE=x，
則$\frac{x}{1}=\frac{2}{x}$，解得：x=$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的外接圓半徑r=1，
棱錐的高h=$\sqrt{3}$，
設(shè)棱錐外接球的半徑為R，
則R²=（$\sqrt{3}$-R）²+1，
解得：R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
故棱錐的外接球的表面積S=4πR²=$\frac{16}{3}π$．
故答案為：$\frac{16}{3}π$．

點評 本題考查四棱錐的外接球體積，考查學(xué)生的計算能力，確定四棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．