Question

10．如圖，已知一長為4dm，寬為3dm的長方形木塊在桌面上作無滑動的翻滾，翻滾到第四面時被一小木塊擋住，使木塊底面與桌面成30°角，求點A走過的路程的長度及走過的弧所在的扇形的總面積

Answer 1

分析 由弧長、面積公式分別求出各段弧長、面積，相加即可求解．

解答 解：第一面翻滾時，點A的路程為$\overline{A{A}_{1}}$，其圓心角為$\frac{π}{2}$，半徑為5 dm，
所走過的弧長為$\frac{5}{2}$π dm，所在的扇形的面積為$\frac{25}{4}$π dm²．
第二面翻滾時，點A的路程為$\overline{{A}_{1}{A}_{2}}$，其圓心角為$\frac{π}{2}$，半徑為3 dm，
所走過的弧長為$\frac{3}{2}$π dm，所在的扇形的面積為$\frac{9}{4}$π dm²．
第三面翻滾時，點A（圖中的點A₂）在桌面上不動；
第四面翻滾時，點A的路為$\overline{{A}_{2}{A}_{3}}$，其圓心角為$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，半徑為4 dm，
所走過的路程為$\frac{4}{3}$π dm，所在扇形的面積為$\frac{8}{3}$π dm²，
所以總路程為$\frac{5}{2}$π+$\frac{3}{2}$π+$\frac{4}{3}$π=$\frac{16}{3}$π（dm）．
走過的弧所在的扇形總面積為$\frac{25}{4}$π+$\frac{9}{4}$π+$\frac{4}{3}$π=$\frac{59}{6}$π（dm²）．

點評 本題考查弧長、面積公式，求出各段弧長的半徑和圓心角是解題的關(guān)鍵，有一定的難度．