Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E為線段PD上一點(diǎn)，記$\frac{PE}{PD}$=λ． 當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，二面角D-AE-C的平面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
（1）求AB的長；
（2）當(dāng)$λ=\frac{2}{3}$時(shí)，求異面直線BP與直線CE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，利用向量法能求出AB．
（2）分別求出$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CE}$，利用向量法能求出異面直線BP與直線CE所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，∴AB，AD，AP兩兩垂直．
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，
則D（0，2，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）
設(shè)B（m，0，0）（m＞0），則C（m，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（m，2，0）．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面ACE的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=mx+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{2}{m}$，-1，2）．   …（4分）
又$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）為平面DAE的法向量，…（4分）
∵二面角D-AE-C的平面角的余弦值為$\frac{2}{3}$，
∴由題設(shè)知|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{3}$，即$\frac{2}{\sqrt{4+5{m}^{2}}}=\frac{2}{3}$，
解得m=1，即AB=1．…（7分）
（2）$P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，\frac{4}{3}，\frac{1}{3}）$，
∴$\overrightarrow{BP}=（-1，0，1），\overrightarrow{CE}=（-1，-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$，
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CE}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$|{\overrightarrow{BP}}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow{CE}}|=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$…（10分）
$cos＜\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{CE}＞=\frac{{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CE}}}{{|{\overrightarrow{BP}}|•|{\overrightarrow{CE}}|}}=\frac{{\frac{4}{3}}}{{\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{3}}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴異面直線BP與直線CE所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長的求法，考查異面直線所成鐵的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．