Question

12．某科研所對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．

單價(jià)x（萬(wàn)元）	8	8.2	8.4	8.8	8.6	9
銷量y（件）	90	84	83	75	80	68

（1）①求線性回歸方程y=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$；②談?wù)勆唐范▋r(jià)對(duì)市場(chǎng)的影響；
（2）估計(jì)在以后的銷售中，銷量與單價(jià)服從回歸直線，若該產(chǎn)品的成本為4.5元/件，為使科研所獲利最大，該產(chǎn)品定價(jià)應(yīng)為多少？
（附：$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)公式求出$\widehat$和$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；②根據(jù)b的值判斷即可；（2）求出關(guān)于w的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出w的最大值即可．

解答 解：（1）①依題意：$\stackrel{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=-20，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=80+20×8.5=250，
∴回歸直線的方程為y=-20x+250；
②由于$\widehat$=-20＜0，則x，y負(fù)相關(guān)，
故隨定價(jià)的增加，銷量不斷降低．
（2）設(shè)科研所所得利潤(rùn)為w，設(shè)定價(jià)為x，
∴w=（x-4.5）（-20x+250）=-20x²+340x-1125，
∴當(dāng)$x=\frac{340}{40}=8.5$時(shí)，w_max=320，
故當(dāng)定價(jià)為8.5元時(shí)，w取得最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了回歸方程問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．