Question

3．已知如圖，PA、PB、PC互相垂直，且長(zhǎng)度相等，E為AB中點(diǎn)，則直線CE與平面PAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAC的法向量，向量CE，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 解：PA、PB、PC互相垂直，以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA、PB、PC分別為x，y，z軸，
設(shè)PA=2，則平面PAC的法向量可以為$\overrightarrow{n}$=（2，0，0），E（1，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{CE}$=（1，-2，1），
直線CE與平面PAC所成角的正弦值為：$|\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{CE}|}|$=$\frac{2}{2•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面所成角的求法．考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．