Question

7．四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為$\sqrt{3}$的同一半球面上，則當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時，底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為（　　）

• A． 2-$\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{4+\sqrt{6}}$
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 畫出圖形，判斷四棱錐體積最大時S的位置，然后求解底面ABCD的中心與頂點S之間的距離即可．

解答 解：四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，點S，A，B，C，D均在半徑為$\sqrt{3}$的同一半球面上，則當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時，頂點S與球心的連線恰好底面ABCD的一邊的中點，如圖：
此時球心O到底面中心F的距離為：OF=${\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}}^{\;}$=1．即EF=OF=1，
∠SEF=45°，
SE=$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，SF=$\sqrt{{EF}^{2}+{ES}^{2}-2EF•EScos45°}$=$\sqrt{4+\sqrt{6}}$
所求距離為：$\sqrt{4+\sqrt{6}}$．
故選：C．

點評 本題考查球的內(nèi)接體，幾何體的高的求法，考查空間想象能力以及計算能力．