Question

11．已知f（x）為R上增函數(shù)，且對任意x∈R，都有f[f（x）-3^x]=4，則f（log₃5）=6．

Answer 1

分析 因為f（x）是R上的增函數(shù)，所以若f（x）-3^x不是常數(shù)，則f[f（x）-3^x]便不是常數(shù)．而已知f[f（x）-3^x]=4，所以f（x）-3^x是常數(shù)，設(shè)f（x）-3^x=m，所以f（m）=4，f（x）=3^x+m，所以f（m）=3^m+m=4，容易知道該方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3^x+1，所以便可求出f（log₃5）．

解答 解：根據(jù)題意得，f（x）-3^x為常數(shù)，設(shè)f（x）-3^x=m，則f（m）=4，f（x）=3^x+m；
∴3^m+m=4，易知該方程有唯一解，m=1；
∴f（x）=3^x+1；
∴f（log₃5）=5+1=6．
故答案為：6．

點評 對于單調(diào)函數(shù)，當(dāng)自變量的值是變量時，函數(shù)值也是變量，考查單調(diào)函數(shù)零點的情況．