Question

17．一個正四棱錐和一個正方體，它們有半徑相同的內(nèi)切球，記正四棱錐的體積為V₁，正方體的體積為V₂，且V₁=kV₂，則實數(shù)k的最小值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為1，則正方體棱長為2，根據(jù)正四棱錐與內(nèi)切球的關(guān)系，列方程得出正四棱錐的底面邊長和高的關(guān)系，代入棱錐的體積公式求出V₁的最小值．

解答 解：設(shè)球的半徑r=1，則正方體的棱長為2r=2，∴V₂=2³=8
作正四棱錐過高SO和底面對邊中點的截面SEF，則球的大圓為等腰三角形SEF的內(nèi)切圓．
設(shè)正四棱錐的底面邊長為a，高為h，則OE=PE=$\frac{a}{2}$，PM=MO=1，SM=h-1，SE=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴SP=$\sqrt{（h-1）^{2}-1}$=$\sqrt{{h}^{2}-2h}$．
∴$\sqrt{{h}^{2}-2h}$+$\frac{a}{2}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}}$，即h²-2h+$\frac{{a}^{2}}{4}$+a$\sqrt{{h}^{2}-2h}$=h²+$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a=$\frac{2h}{\sqrt{{h}^{2}-2h}}$．
∴V₁=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{4}{3}$•$\frac{{h}^{2}}{h-2}$=$\frac{4}{3}$•（h-2+$\frac{4}{h-2}$+4）≥$\frac{4}{3}×（2\sqrt{4}+4）$=$\frac{32}{3}$．
∴k=$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{V}_{1}}{8}$≥$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了棱柱，棱錐與內(nèi)切球的位置關(guān)系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．