Question

18．設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n滿足S_n²-（n²+n-2）S_n-2（n²+n）=0，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$＞$\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）當n=1，代入S_n²-（n²+n-2）S_n-2（n²+n）=0，由數(shù)列{a_n}為正數(shù)，求得a₁=2；
（2）將S_n²-（n²+n-2）S_n-2（n²+n）=0轉(zhuǎn)化成，（S_n+2）[S_n-（n²+n）]=0，由S_n+2≠0，即可S_n=n²+n，當n≥2時，S_n-1=（n-1）²+（n-1），兩式相減即可求得即可求得a_n=2n，由（1）可知，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由（2）可知，將a_n=2n代入，由$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$=$\frac{2n+1}{2n}$＞$\sqrt{\frac{4{n}^{2}+4n}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+1}{n}}$，采用放縮法，即可求得$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$＞$\sqrt{n+1}$．

解答 解：（1）當n=1時，a₁²-4=0，解得：a₁=2或a₁=-2，
∵數(shù)列{a_n}為正數(shù)，
∴a₁=2…（2分）
（2）S_n²-（n²+n-2）S_n-2（n²+n）=0，
即（S_n+2）[S_n-（n²+n）]=0，
∵S_n+2≠0，
∴S_n=n²+n，
當n≥2時，S_n-1=（n-1）²+（n-1），
兩式相減得：a_n=2n，
當n=1，滿足a_n=2n，
∴a_n=2n…（8分）
（3）證明：$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$=$\frac{2n+1}{2n}$＞$\sqrt{\frac{4{n}^{2}+4n}{4{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{n+1}{n}}$，
$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$＞$\sqrt{\frac{4×{1}^{2}+4×1}{4×{1}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{4×{2}^{2}+4×2}{4×{2}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{4×{3}^{2}+4×3}{4×{3}^{2}}}$×…×$\sqrt{\frac{4{n}^{2}+4n}{4{n}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1+1}{1}}$×$\sqrt{\frac{2+1}{2}}$×$\sqrt{\frac{3+1}{3}}$×…×$\sqrt{\frac{n+1}{n}}$=$\sqrt{n+1}$．
∴$\frac{{{a_1}+1}}{a_1}$×$\frac{{{a_2}+1}}{a_2}$×…×$\frac{{{a_n}+1}}{a_n}$＞$\sqrt{n+1}$．…（14分）

點評 本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式，考查利用放縮法求不等式的證明，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．