Question

15．已知冪函數(shù)f（x）=$（m-1）^{2}{x}^{{m}^{2}-4m+2}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）=2^x-k，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，記f（x），g（x）的值域分別為集合A，B，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求出m的值，
（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根據(jù)若A∪B⊆A，得到關(guān)于k的不等式組，解的即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意冪函數(shù)f（x）=$（m-1）^{2}{x}^{{m}^{2}-4m+2}$得：（m-1）²=1，
解得m=0或m=2，
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x^-2在（0，+∞）上單調(diào)遞減，與題設(shè)矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x），g（x）單調(diào)遞增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-k≥1}\\{4-k≤4}\end{array}\right.$解得，0≤k≤1，
故實(shí)數(shù)K的取值范圍為[0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)定義，以及集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．