8.如圖(1),等腰直角三角形ABC的底邊AB=4,點(diǎn)D在線段AC上(不含C點(diǎn)),DE⊥AB于E,現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖(2)).
(1)求證:PB⊥DE;
(2)若PE⊥BE,AE=1,
①試在線段BP上找一點(diǎn)M,使得CM∥平面PDE,求BM的長(zhǎng);
②求二面角D-PC-B的余弦值.

分析 (1)根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明,
(2)①取BF=2,則EF=1,CF∥DE.在PB上取M,使得BM:MP=2:1,則MF∥PE,證明平面MFC∥平面PED,可得結(jié)論;
②建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出平面PCD、平面PBC的法向量,即可求二面角D-PC-B的余弦值.

解答 證明:(1)∵DE⊥AB,∴DE⊥PE,DE⊥EB.…(2分)
又∵PE∩BE=E,∴DE⊥平面PEB.…(4分)
∵PB?平面PEB,∴PB⊥DE.…(5分)
(2)①取BF=2,則EF=1,CF∥DE.
在PB上取M,使得BM:MP=2:1,則MF∥PE,
∵PE∩DE=E,CF∩MF=F,
∴平面MFC∥平面PED,
∵CM?平面MFC,
∴CM∥平面PED,
∵PE⊥BE,PE⊥DE,BE∩DE=E,
∴PE⊥平面DEBC,
∴PE⊥BE,
∵PE=1,BE=3,
∴PB=$\sqrt{10}$,
∴BM=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$;
②建立如圖所示的坐標(biāo)系,則E(0,0,0),D(1,0,0),P(0,0,1),B(0,3,0),
∴$\overrightarrow{PD}$=(1,0,-1),$\overrightarrow{PC}$=(2,1,-1),$\overrightarrow{PB}$=(0,3,-1),
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),則$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$,取x=1,則$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
同理平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=(1,1,3),
∴二面角D-PC-B的余弦值=$\frac{1-1+3}{\sqrt{3}•\sqrt{1+1+9}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線和平面垂直、平行的性質(zhì)定理以及二面角D-PC-B的余弦值,考查向量方法的運(yùn)用,屬于中檔題.

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