Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$+alnx，a∈R．求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，令t=$\frac{1}{x}$得f′（x）=-t²+at-1（t≠0），再進(jìn)行分類討論：當(dāng)△=a²-4≤0，f′（x）≥0恒成立；當(dāng)△=a²-4＞0，根據(jù)-t²+at-1＞0，及-t²+at-1＜0，即可確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$，函數(shù)定義域是（0，+∞）
令t=$\frac{1}{x}$得f′（x）=-t²+at-1（t≠0）
當(dāng)△=a²-4≤0，即-2≤a≤2時(shí)，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；
當(dāng)△=a²-4＞0，即a＜-2或a＞2時(shí)，
由-t²+at-1＞0得t＜$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或t＞$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$
∴x＞$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$或0＜x＜$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$
又由-t²+at-1＜0得$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＜t＜$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，∴$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$＜x＜$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$
綜上 當(dāng)-2≤a≤2，f（x）在（0，+∞）上都是增函數(shù)；當(dāng)a＜-2或a＞2，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）及（$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，+∞）上都是增函數(shù)，在$\frac{a}{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，$\frac{a}{2}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$）是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．