Question

15． 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q為AD的中點，M為棱PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BMQ；
（2）已知PD=DC=AD=2，求V_P-BMQ．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，交BQ于N，連結(jié)MN，推導(dǎo)出MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ．
（2）取CD的中點K，連結(jié)MK，則MK∥PD，推導(dǎo)出MK⊥底面ABCD，點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離，由V_P-MAQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ，利用等積法能求出V_P-BMQ．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，交BQ于N，連結(jié)MN，
∵∠ADC=90°，Q為AD的中點，∴N為AC的中點，
當(dāng)M為PC的中點，即PM=MC時，MN為△PAC的中位線，
∴MN∥PA，
又MN?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ．
（2）取CD的中點K，連結(jié)MK，則MK∥PD，MK=$\frac{1}{2}$PD=1，
又PA⊥底面ABCD，∴MK⊥底面ABCD，
又BC=$\frac{1}{2}AD=1$，PD=CD=2，
∴AQ=1，BQ=2，MQ=$\sqrt{3}$，NQ=1，
由（1）知PA∥平面BMQ，
∴點P到平面BMQ的距離等于點A到平面BMQ的距離，
∴V_P-MAQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AQ×BQ×MK$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．