Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=3-S_n，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，且b₅=15，b₇=21．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）將數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第b₁項(xiàng)，第b₂項(xiàng)，第b₃項(xiàng)，…，第b_n項(xiàng)，…，刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前2016項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （I）由a_n=3-S_n，當(dāng)n=1時，a₁=3-a₁，解得a₁=$\frac{3}{2}$；當(dāng)n≥2時，可得：a_n-a_n-1=-a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₅=15，b₇=21．可得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+4d=15}\\{_{1}+6d=21}\end{array}\right.$，解得b₁=d=3，即可得出.$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$．將數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…，第3n項(xiàng)，…，刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍然成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，公比都為8．利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n=3-S_n，當(dāng)n=1時，a₁=3-a₁，解得a₁=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n≥2時，a_n-1=3-S_n-1，
∴a_n-a_n-1=3-S_n-（3-S_n-1）=-a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$，可得：${a}_{n}=\frac{3}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$3×（\frac{1}{2}）^{n}$．
（II）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，∵b₅=15，b₇=21．
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+4d=15}\\{_{1}+6d=21}\end{array}\right.$，解得b₁=d=3，
∴b_n=3+3（n-1）=3n．
$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{3}$．將數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…，第3n項(xiàng)，…，刪去后，剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{c_n}，
其奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍然成等比數(shù)列，首項(xiàng)分別為$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$，公比都為8．
∴數(shù)列{c_n}的前2016項(xiàng)和=（c₁+c₃+…+c₂₀₁₅）+（c₂+c₄+…+c₂₀₁₆）
=$\frac{\frac{2}{3}（{8}^{1008}-1）}{8-1}$+$\frac{\frac{4}{3}（{8}^{1008}-1）}{8-1}$=$\frac{2}{7}（{8}^{1008}-1）$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．