Question

4．中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為$\sqrt{2}$，直線l與雙曲線C交于A，B兩點，線段AB中點M在第一象限，并且在拋物線y²=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，則直線l的斜率為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用拋物線的定義，確定M的坐標(biāo)，利用點差法將線段AB中點M的坐標(biāo)代入，即可求得結(jié)論．

解答 解：∵M(jìn)在拋物線y²=2px（p＞0）上，且M到拋物線焦點的距離為p，
∴M的橫坐標(biāo)為$\frac{p}{2}$，∴M（$\frac{p}{2}$，p）
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
代入兩式相減，并將線段AB中點M的坐標(biāo)代入，可得$\frac{p（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}-\frac{2p（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{{e}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線與拋物線的綜合，考查點差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．