Question

19．已知點A（1，1），B（2，3），C（0，2），D（5，5）則向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影為-$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$的夾角為θ，由條件求得cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$ 的值，再根據(jù)向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影為|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ，計算求得結(jié)果．

解答 解：由題意可得向量$\overrightarrow{AC}$=（-1，1），$\overrightarrow{BD}$=（3，2），∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$．
設(shè)向量$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{BD}$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-3+2}{\sqrt{2}•\sqrt{13}}$=-$\frac{1}{\sqrt{26}}$．
故向量$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影為|$\overrightarrow{AC}$|•cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{26}}$=-$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，求一個向量在另一個向量上的投影，屬于基礎(chǔ)題．