Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a＜0）有極小值-8，其導(dǎo)函數(shù)f'（x）的圖象過點(diǎn)A（-2，0），B（

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，0）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=mx恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)x∈[-3，3]都有f（x）≥t²-14t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）1求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的極值，即可求出a，得到f（x）的解析式；
（2）通過方程f（x）=mx恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化方程為 二次函數(shù)，利用判別式求解即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）利用對(duì)x∈[-3，3]都有f（x）≥t²-14t恒成立，結(jié)合（1）求出函數(shù)的最小值，然后求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知可設(shè)f′(x)=3a(x+2)(x-

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)（a＜0），從而可得f（x）=ax³+2ax²-4ax
∴f(x)在(-∞，-2)，(

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，+∞)上遞減，在(-2，

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)上遞增
∴當(dāng)x=-2時(shí)，f（x）_極小值=f（-2）=8a=-8⇒a=-1∴f（x）=-x³-2x²+4x
（2）由（1）得：方程f（x）=mx?x（x²+2x+m-4）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
即x²+2x+m-4=0有兩個(gè)非零解
∴

△=4-4(m-4)＞0 m-4≠0

?m∈(-∞，4)∪(4，5)
（3）當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，由（ I）得f（x）在[-3，-2]，[

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，3]上遞減，在在[-2，

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]上遞增
又f（-2）=-8，f（3）=-33
∴x∈[-3，3]時(shí)，不等式f（x）≥t²-14t恒成立，等價(jià)于t²-14t≤-33
∴t∈[3，11]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性極值，閉區(qū)間是的最值，考查分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．