分析 (Ⅰ)根據(jù)函數(shù)解析式有意義的條件即可求h(x)的定義域;根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)根據(jù)f(3)=2,可得:a=2,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求使h(x)<0的x的解集即可;
(Ⅲ)先判斷出復(fù)合函數(shù)h(x)的單調(diào)性,根據(jù)h($\frac{1}{2}$)=1,從而求出a的值即可.
解答 解:(Ⅰ)要使函數(shù)有意義,則 $\left\{\begin{array}{l}{1+x>0}\\{1-x>0}\end{array}\right.$,解得-1<x<1,
即函數(shù)h(x)的定義域為(-1,1);
∵h(yuǎn)(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-h(x),
∴h(x)是奇函數(shù).
(Ⅱ)若f(3)=2,
∴l(xiāng)oga(1+3)=loga4=2,解得:a=2,
∴h(x)=log2(1+x)-log2(1-x),
若h(x)<0,則log2(x+1)<log2(1-x),
∴0<x+1<1-x,解得-1<x<0,
故不等式的解集為(-1,0);
(Ⅲ)h(x)=${log}_{a}^{\frac{1+x}{1-x}}$,令y=$\frac{1+x}{1-x}$,y′=$\frac{2}{{(1-x)}^{2}}$>0,
又a>1,根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則,
函數(shù)h(x)在$x∈[0,\frac{1}{2}]$時單調(diào)遞增,
故h(0)=0,h($\frac{1}{2}$)=1,即${log}_{a}^{3}$=1,解得:a=3.
點評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域,奇偶性和不等式的求解,要求熟練對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).
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