Question

10．已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），設(shè)h（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）求函數(shù)h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性，并說明理由．
（Ⅱ）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合．
（Ⅲ）若a＞1，當(dāng)$x∈[0，\frac{1}{2}]$時(shí)，h（x）∈[0，1]，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)解析式有意義的條件即可求h（x）的定義域；根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根據(jù)f（3）=2，可得：a=2，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求使h（x）＜0的x的解集即可；
（Ⅲ）先判斷出復(fù)合函數(shù)h（x）的單調(diào)性，根據(jù)h（$\frac{1}{2}$）=1，從而求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則 $\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜x＜1，
即函數(shù)h（x）的定義域?yàn)椋?1，1）；
∵h(yuǎn)（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-h（x），
∴h（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）若f（3）=2，
∴l(xiāng)og_a（1+3）=log_a4=2，解得：a=2，
∴h（x）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
若h（x）＜0，則log₂（x+1）＜log₂（1-x），
∴0＜x+1＜1-x，解得-1＜x＜0，
故不等式的解集為（-1，0）；
（Ⅲ）h（x）=${log}_{a}^{\frac{1+x}{1-x}}$，令y=$\frac{1+x}{1-x}$，y′=$\frac{2}{{（1-x）}^{2}}$＞0，
又a＞1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，
函數(shù)h（x）在$x∈[0，\frac{1}{2}]$時(shí)單調(diào)遞增，
故h（0）=0，h（$\frac{1}{2}$）=1，即${log}_{a}^{3}$=1，解得：a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇偶性和不等式的求解，要求熟練對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．