Question

20．若函數(shù)y=f（x）滿足：對y=f（x）圖象上任意點P（x₁，f（x₁）），總存在點P′（x₂，f（x₂））也在y=f（x）圖象上，使得x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0成立，稱函數(shù)y=f（x）是“特殊對點函數(shù)”，給出下列五個函數(shù)：
①y=x^-1；
②y=log₂x；
③y=sinx+1；
④y=e^x-2；
⑤y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是③④⑤（寫出所有正確的序號）

Answer 1

分析 根據(jù)條件x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$，轉化為和$\overrightarrow{OP}$垂直的向量$\overrightarrow{OP′}$和函數(shù)f（x）有交點，利用數(shù)形結合進行判斷即可

解答 解：∵P（x₁，f（x₁）），點P′（x₂，f（x₂）），
∴若x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，則等價為$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0，即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$．
①當P（1，1）時，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′（-1，1）不在f（x）的圖象上，故①不是“特殊對點函數(shù)”，

②當P（1，0）時，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′不在f（x）的圖象上，故②不是“特殊對點函數(shù)”，

③作出函數(shù)y=sinx+1的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則③是“特殊對點函數(shù)”，

④作出函數(shù)y=e^x-2的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則④是“特殊對點函數(shù)”，

⑤作出函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則⑤是“特殊對點函數(shù)”．

故答案為：③④⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)條件轉化為向量垂直，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．