20.若函數(shù)y=f(x)滿足:對y=f(x)圖象上任意點P(x1,f(x1)),總存在點P′(x2,f(x2))也在y=f(x)圖象上,使得x1x2+f(x1)f(x2)=0成立,稱函數(shù)y=f(x)是“特殊對點函數(shù)”,給出下列五個函數(shù):
①y=x-1;
②y=log2x;
③y=sinx+1;
④y=ex-2;
⑤y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$.
其中是“特殊對點函數(shù)”的序號是③④⑤(寫出所有正確的序號)

分析 根據(jù)條件x1x2+f(x1)f(x2)=0,得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$,轉化為和$\overrightarrow{OP}$垂直的向量$\overrightarrow{OP′}$和函數(shù)f(x)有交點,利用數(shù)形結合進行判斷即可

解答 解:∵P(x1,f(x1)),點P′(x2,f(x2)),
∴若x1x2+f(x1)f(x2)=0,則等價為$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0,即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$.
①當P(1,1)時,滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′(-1,1)不在f(x)的圖象上,故①不是“特殊對點函數(shù)”,

②當P(1,0)時,滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′不在f(x)的圖象上,故②不是“特殊對點函數(shù)”,

③作出函數(shù)y=sinx+1的圖象,由圖象知,滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′(x2,f(x2))都在y=f(x)圖象上,則③是“特殊對點函數(shù)”,

④作出函數(shù)y=ex-2的圖象,由圖象知,滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′(x2,f(x2))都在y=f(x)圖象上,則④是“特殊對點函數(shù)”,

⑤作出函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象,由圖象知,滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點P′(x2,f(x2))都在y=f(x)圖象上,則⑤是“特殊對點函數(shù)”.

故答案為:③④⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷,根據(jù)條件轉化為向量垂直,利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

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