Question

20．若函數(shù)y=f（x）滿足：對(duì)y=f（x）圖象上任意點(diǎn)P（x₁，f（x₁）），總存在點(diǎn)P′（x₂，f（x₂））也在y=f（x）圖象上，使得x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0成立，稱函數(shù)y=f（x）是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，給出下列五個(gè)函數(shù)：
①y=x^-1；
②y=log₂x；
③y=sinx+1；
④y=e^x-2；
⑤y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$．
其中是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”的序號(hào)是③④⑤（寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)條件x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$，轉(zhuǎn)化為和$\overrightarrow{OP}$垂直的向量$\overrightarrow{OP′}$和函數(shù)f（x）有交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可

解答 解：∵P（x₁，f（x₁）），點(diǎn)P′（x₂，f（x₂）），
∴若x₁x₂+f（x₁）f（x₂）=0，則等價(jià)為$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OP′}$=0，即$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$．
①當(dāng)P（1，1）時(shí)，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′（-1，1）不在f（x）的圖象上，故①不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

②當(dāng)P（1，0）時(shí)，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的P′不在f（x）的圖象上，故②不是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

③作出函數(shù)y=sinx+1的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點(diǎn)P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則③是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

④作出函數(shù)y=e^x-2的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點(diǎn)P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則④是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”，

⑤作出函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象，由圖象知，滿足$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OP′}$的點(diǎn)P′（x₂，f（x₂））都在y=f（x）圖象上，則⑤是“特殊對(duì)點(diǎn)函數(shù)”．

故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為向量垂直，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．