Question

13．已知函數(shù)f（x）=x（x-c）²在x=2處有極值且c＜3，c∈R．
（1）求c的值；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²-4cx+c²，令f′（2）=0，解得c，再分別討論，利用函數(shù)f（x）=x（x-c）²（c∈R）在x=2處有極小值，從而得出答案；
（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）因為f'（x）=（x-c）²+2x（x-c）=3x²-4cx+c²，
又f（x）=x（x-c）²在x=2處有極小值，
所以f'（2）=12-8c+c²=0⇒c=2或c=6（舍），
當(dāng)c=2時，f'（x）=3x²-8x+4=（3x-2）（x-2），
當(dāng)f′（x）=（3x-2）（x-2）≥0⇒x≤$\frac{2}{3}$或x≥2時，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）=（3x-2）（x-2）≤0⇒$\frac{2}{3}$≤x≤2時，f（x）單調(diào)遞減，
此時f（x）在x=2處有極小值，符合題意；
（2）由（1）知，f（x）=x（x-2）²，f'（x）=（3x-2）（x-2），
令f'（x）=（3x-2）（x-2）=0，得x=$\frac{2}{3}$或x=2，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，2）	2	（2，4）	4
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↗	極大值 $\frac{32}{27}$	↘	極小值0	↗	16

由上表可知：f（x）_min=0，f（x）_max=16．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．