Question

8．函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若?a∈（-1，+∞），?x∈（1，e），有f（x）-b＜0，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=3時，求得f（x）的解析式，令f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）將原不等式轉化成b＞f（x）的最小值，由函數性質可知h（a）=-$\frac{1}{2}$ax²-2x+lnx在（-1，+∞）上是減函數，可知b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，構造輔助函數g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，求導，根據函數的單調性，求得g（x）的最小值，即可求得實數b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由當a=3時，f（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x²-2x．求導f′（x）=-$\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{3}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{3}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
x∈（$\frac{1}{3}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$），單調遞減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，+∞）；..…（6分）
（Ⅱ）由?a∈（-1，+∞），lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x＜b恒成立，則b＞f（x）的最小值，…（7分）
由函數h（a）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x=-$\frac{1}{2}$ax²-2x+lnx在（-1，+∞）上是減函數，
∴h（a）＜h（-1）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，
∴b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，..…（8分）
由?x∈（1，e），使不等式b≥$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx成立，
∴$b≥{（\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx）_{min}}$．…（10分）
令g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2x+lnx，求導g′（x）=x-2-$\frac{1}{x}$≥0，
∴函數g（x）在（1，e）上是增函數，
于是$g{（x）_{min}}=g（1）=-\frac{3}{2}$，
故$b＞-\frac{3}{2}$，即b的取值范圍是$（-\frac{3}{2}，+∞）$…（12分）

點評 本題考查導數知識的運用，考查利用函數的導數研究函數單調性及極值，考查存在性問題的研究，考查轉化思想，屬于中檔題．