Question

16．已知f（x）=1+log_x3，g（x）=2log_x2，試比較f（x）與g（x）的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 由于要比較的兩個(gè)數(shù)都是對(duì)數(shù)，我們聯(lián)系到對(duì)數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論即可．

解答 解：（1+log_x3）-2log_x2=log_x $\frac{3x}{4}$，
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{0＜\frac{3}{4}x＜1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{\frac{3}{4}x＞1}\end{array}\right.$，
即0＜x＜1或x＞$\frac{4}{3}$時(shí)，
有l(wèi)og_x$\frac{3x}{4}$＞0，1+log_x3＞2log_x2，
即f（x）＞g（x）；
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜1}\\{\frac{3}{4}x＞1}\end{array}\right.$①或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{0＜\frac{3}{4}x＜1}\end{array}\right.$②時(shí)，
log_x$\frac{3x}{4}$＜0．
解①得無(wú)解，解②得1＜x＜$\frac{4}{3}$，
即當(dāng)1＜x＜$\frac{4}{3}$時(shí)，有l(wèi)og_x$\frac{3x}{4}$＜0，
1+log_x3＜2log_x2，
即f（x）＜g（x），
當(dāng)$\frac{3}{4}$x=1，即x=$\frac{4}{3}$時(shí)，有l(wèi)og_x$\frac{3x}{4}$=0．
∴1+log_x3=2log_x2，
即f（x）=g（x），
綜上所述，當(dāng)0＜x＜1或x＞$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）＞g（x）；
當(dāng)1＜x＜$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）＜g（x）；
當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，f（x）=g（x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，作差法，分類討論的思想，是中檔題．