Question

6．如圖是某直三棱柱被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點(diǎn)，AE=$\frac{1}{2}$CD，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．

（1）求出該幾何體的體積；
（2）試問(wèn)在邊CD上是否存在點(diǎn)N，使MN⊥平面BDE？若存在，確定點(diǎn)N的位置（不需證明）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，得四棱錐的高為2，求出底面梯形的面積，代入體積公式計(jì)算；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OE，證明四邊形AOME為平行四邊形，可得EM∥AO，再由線面平行的判定定理證明EM∥平面ABC．

解答 解：（1）側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，
根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，四棱錐的高為2，
∴幾何體的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{2+4}{2}$×2×2=4．
（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（0，2，0），D（0，0，4），E（2，0，2），M（0，1，2），
設(shè)N（0，0，t），（0＜t＜4），
$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，4），$\overrightarrow{BE}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{MN}$=（0，-1，t-2），
∵M(jìn)N⊥平面BDE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BD}=2+4t-8=0}\\{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BE}=2+2t-4=0}\end{array}\right.$，無(wú)解．
∴在邊CD上不存在點(diǎn)N，使MN⊥平面BDE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)求幾何體的體積，考查滿足線面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，解題的關(guān)鍵是判斷三視圖的數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量．