Question

12．已知F是拋物線C：y²=-2x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為120°的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求直線l的方程；
（2）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求出直線的方程．
（2）直線方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求得|AB|．

解答 解：（1）由y²=-2x得其焦點(diǎn)F（-$\frac{1}{2}$，0）．
則過拋物線y²=-2x的焦點(diǎn)F且傾斜角為120°的直線方程為y=-$\sqrt{3}$×（x+$\frac{1}{2}$）．
可得直線方程為：$2\sqrt{3}x+2y+\sqrt{3}=0$．
（2）直線方程為y=-$\sqrt{3}$（x+$\frac{1}{2}$）代入拋物線方程，消去y，得12x²+32x+3=0．
設(shè)A（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則x₁+x₂=$-\frac{8}{3}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$．
所以|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（-\frac{8}{3}）^{2}-4×\frac{1}{4}}$=$\frac{2\sqrt{55}}{3}$．
線段AB的長(zhǎng)：$\frac{2\sqrt{55}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．