Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

為奇函數(shù)，f（1）=2，f（2）=

5

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）當x＞0時，確定f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并給予證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

為奇函數(shù)，f（1）=2，f（2）=

5

2

，可得：f（-1）=-2，代入構造關于a，b，c的方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）當x＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），利用導數(shù)法，易證明結論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ax2+1

bx+c

為奇函數(shù)，f（1）=2，f（2）=

5

2

∴f（-1）=-2，
即

a+1 b+c =2 a+1 -b+c =-2 4a+1 2b+c = 5 2

，
解得：a=b=1，c=0，
∴f（x）=

x2+1

x

（2）當x＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），理由如下：
由（1）中，f（x）=

x2+1

x

，可得：f′（x）=

x2-1

x2

，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判定與證明，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．