Question

15．如圖所示，四邊形ABCD是腰長為2的等腰梯形，其上底長為2，下底長為4，E是腰BC上一點(diǎn)，P為上底CD上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DP}$=$λ\overrightarrow{DC}$，λ∈[0，1]，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$的取值范圍是[4，10]．

Answer 1

分析 利用等腰梯形的性質(zhì)，求出∠DAB及∠B，并用含有λ的式子表示出$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$，利用向量的數(shù)量積將$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AE}$成關(guān)于λ的一元二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由等腰梯形可知，∠DAB=∠B=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為$\frac{π}{3}$，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$，
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$；
則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}$=（$\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{DC}$）•（$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$）
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$+$λ\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$+$λ\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{AB}$+${λ}^{2}\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BC}$
=丨$\overrightarrow{AD}$丨丨$\overrightarrow{AB}$丨cos$\frac{π}{3}$+λ丨$\overrightarrow{AD}$丨丨$\overrightarrow{BC}$丨cos$\frac{π}{3}$+λ丨$\overrightarrow{DC}$丨丨$\overrightarrow{AB}$丨cos0+λ²丨$\overrightarrow{DC}$丨丨$\overrightarrow{BC}$丨cos$\frac{2π}{3}$
=-2λ²+10λ+4
設(shè)y=-2λ²+10λ+4，λ∈[0，1]，
當(dāng)λ=0時，取最小值為4，當(dāng)λ=1時取最大值為12
故取值范圍[4，12]
 故答案為[4，12]

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．